Varbūtiskā loģika. Pamatprincipi

 

Varbūtiskajā loģikā mūsu slēdzieni saistīti ar spriedumiem, kuros atklāti vai apslēpti figurē varbūtības termins. Šāda tipa sprieduma piemērs ir apgalvojums, ka spēļu kauliņa noteiktas skaldnes uzkrišanas varbūtība ir 1/6. Šai kategorijai pieder arī apgalvojums – varbūtība, ka jaunas ģimenes pirmdzimtais būs zēns ir ½.

 

Svarīgi atzīmēt, ka pastāv būtiska atšķirība starp varbūtības jēdziena saturu, ar kuru operējam sadzīvē, un šī termina semantiku tehnikā un dabas zinātnēs. Pirmajā gadījumā mums ir darīšana ar t. s. subjektīvo varbūtību, otrajā - ar objektīvo. Zēna vai meitenes piedzimšana pieskaitāma objektīvo varbūtību kategorijai un interpretējama kā attiecīgās parādības novērojamais biežums samērā lielā izmēģinājuma skaitā. Tā, piemēram, ja uz labu laimi izvēlēsimies tūkstoš ģimeņu, tad zēnu un meiteņu skaita attiecība pirmdzimto vidū būs ļoti tuva 500/500. Pavisam citu statistisko biežumu iegūsim, ja saskaitīsim zilacainu meitenīšu skaitu tūkstoš jaundzimušo bērnu vidū Latvijas Republikā. Apzīmējot šo skaitu ar m un dalot ar 1000, iegūsim zilacaino meiteņu piedzimšanas biežumu  Šo p vērtību varam uzlūkot par samērā precīzu zilacainas meitenītes piedzimšanas varbūtību.

Subjektīvās varbūtības jēgu varam ilustrēt ar nelielu sadzīvisku sižetu. Varam iedomāties, ka ģimene apspriež dēla iespējas iekļūt prestižā augstskolā. Jauneklis vecākiem apgalvo: - Savas izredzes es vērtēju kā 7/10. - Tēvs ir noskaņots kritiski un saka: - Man šķiet, ka tu savas iespējas pārvērtē. Īstenībā tavas izredzes ir vērtējamas kā 4/10, bet mēģināt tu vari. - Māte neziņā svārstās, kuru no abiem vērtējumiem atzīt par ticamāku – dēla vai tēva. Beidzot viņa nospriež, ka abi vērtējumi ir vienlīdz ticami. Tas nozīmē, ka viņa katram no tiem piedēvē ticamības varbūtību ½. Viegli saprast, ka mūsu mazajā piemērā varbūtību skaitliskās vērtības 7/10, 4/10 un ½ nav interpretējamas kā izmēģinājuma sērijā iegūto rezultātu biežumi. Šie skaitļi interpretējami kā attiecīgo personu subjektīvās pārliecības pakāpes kvantitatīvie novērtējumi.

Atgriežoties pie piemēra ar metamo kauliņu, varam formulēt pirmo varbūtiskās loģikas pamatprincipu P₁. Saskaņā ar šo principu aprēķināma dotajam notikumam A pretēja notikuma A_c varbūtība. Piemēram, ja A ir notikums uzkrist sešām acīm, tad šī notikuma varbūtība, bet notikuma A_c varbūtība . Vispārīgā veidā princips P₁ izsakāms ar formulu:

           

Ļoti svarīgs varbūtiskās loģikas princips ir P_2, kurš formulējams šādi: ja viendabīga izmēģinājuma sērija apmierina nosacījumu, ka iepriekšējo izmēģinājumu rezultāti neietekmē nākošo izmēģinājumu rezultātus, tad konkrētas rezultātu sērijas parādīšanās varbūtība ir atsevišķo rezultātu varbūtību reizinājums. Piemēram, ja spēļu kauliņu metam 5 reizes, tad iespējamas 6*6*6*6*6 = 7776 dažādas rezultātu sērijas. Tā kā atsevišķo metienu rezultāti cits citu neietekmē, tad rezultātu sērijas 3,1,5,2,6 parādīšanās varbūtība būs atsevišķo rezultātu varbūtību reizinājums. Šajā gadījumā dabūsim skaitli .

          Trešais varbūtiskās loģikas princips P₃ formulējams šādi: ja pazīme, kas nosaka notikuma A realizāciju, nav savienojama ar pazīmi, kas nosaka notikuma B iestāšanos, tad varbūtība, ka iestāsies vismaz viens no šiem notikumiem (A vai B), ir atsevišķo notikumu varbūtību summa. Ar formulu to pieraksta šādi:

p

Principu P₃ sauc par nesavienojamu notikumu varbūtības saskaitīšanas likumu. Piemēram, ja notikums A nozīmē uzmest spēļu kauliņu ar trim acīm, bet notikums B – uzmest kauliņu ar piecām acīm, A un B būs nesavienojami notikumi, t. i., tie nevar realizēties reizē vienā spēļu kauliņa metienā. Tātad varbūtība vienā metienā iegūt A vai B ir .

          Šo triju varbūtiskās loģikas principu lietojums ļauj aprēķināt daudzu un dažādu notikumu un parādību varbūtības, balstoties uz ļoti vienkāršu un elementāru notikumu varbūtībām. Ar to palīdzību iespējams kvalificēti analizēt kropļojumu parādības sakaru kanālos, veikt ģenētisko parādību analīzi bioloģijā, izvērtēt azartspēļu un loteriju norises, veikt ražojumu kvalitātes statistiskās kontroles rezultātu analīzi un medicīnisko preparātu efektivitātes testēšanu. Arī kļūdu koriģējošu un detektējošu kodu konstrukcija balstāma uz šo triju varbūtiskās loģikas principu izmantošanu sakaru kanālu trokšņu ietekmes matemātiskā modeļa, t. i., matemātiskā apraksta izveidē.

 

Informācijas pārraide un varbūtiskā loģika

Ja sakaru kanālā informācija tiek pārraidīta kā nuļļu un vieninieku virknes, kurām atbilst noteikti elektronisko potenciālu līmeņi, bet pastāv varbūtība p, ka kārtējā bita pārraide dos kropļojumu – 0 pārvērtīsies par 1, bet 1 – par nulli, tad nereti lieto kļūdu koriģējošus kodus, kuri pazemina informācijas pārraides ātrumu, bet palielina tās drošumu. Tā, piemēram, lai pārraidītu simbolu 0, pārraidām koda vārdu , bet 1 pārraidīšanai izmantojam koda vārdu . Augsta informācijas pārraides drošuma problēma ir ļoti aktuāla kosmisko sakaru sistēmās, it īpaši sakaros starp kosmiskām zondēm un to vadības centriem. Milzīgo attālumu dēļ un kosmiskās vides agresīvās iedarbības rezultātā pārraidīto signālu kropļojumi var parādīties ar pietiekami lielu varbūtību, lai tos nevarētu ignorēt. Ja koda vārdā tiek kropļota tikai viena pozīcija, tad iespējami šādi seši varianti:  Citus sešus variantus iegūsim, pārraidot koda vārdu . Šajā gadījumā iespējamie varianti ir:  Saskaņā ar varbūtiskās loģikas principiem  un  katra varianta parādīšanās varbūtība izteiksies kā reizinājums:

Varbūtiskās loģikas principa p₂ lietojums balstās uz atzinumu, ka katras atsevišķas pozīcijas kropļojums, respektīvi, nekropļojums nav atkarīgs no citu pozīciju stāvokļa. Tā kā katra atsevišķa varianta realizācija izslēdz cita varianta realizāciju, tad varbūtība, ka iegūsim koda vārdu ar vienu vienīgu kropļojumu būs Varbūtība, ka, pārraidot koda vārdu, tajā būs ne vairāk kā viens kropļojums, izteiksies (saskaņā ar principu) kā summa . Analoģiski tam, kā aprēķinājām viena kropļojuma iespējamību koda vārdā, varam izskaitļot varbūtību, , ka pārraidītajā koda vārdā būs tieši divi kropļojumi, dabūsim ,jo divi kropļojumi koda vārdā dod 15 variantus. Tātad varbūtība p*, ka kropļojumu skaits koda vārdā nepārsniedz divi, izteiksies ar vienādību:

Atzīmēsim, ka šī vienādība paliek spēkā arī tad, ja attiecīgā bita kropļojums nevis pārveido 0 par 1 un 1 par 0, bet transformē attiecīgo bitu par neidentificējamu signālu. Viegli pārliecināties, ka koda vārds ar vienu vai diviem kropļojumiem pieļauj identificēt sūtīto oriģinālu, t. i., koda vārdu vai  Tātad mūsu izvēlētā kodēšanas metode ļauj koriģēt līdz par diviem kropļojumiem koda vārdā. Ja šis līmenis tiek pārsniegts, sūtītais koda vārds vairs nav droši identificējams. Līdz ar to informācijas kanāla drošuma rādītājs būs varbūtība

          Aprēķināsim, cik lielu drošuma palielinājumu dod mūsu kodēšanas metode, t. i., cik mazu vērtību iegūsim, ja p = 0,0001. Izrādās, ka šajā gadījumā  mazāks par . Tātad , t. i., informācijas pārraides drošums, palielinās vairāk nekā 3000 000 reižu.

 

Varbūtiskā loģika un medicīna

Ar ļoti delikātām varbūtiskās loģikas problēmām sastopamies medicīnā. Jaunu zāļu un jaunu ārstniecības metožu (it īpaši ķirurģisku) ieviešana ir ļoti sarežģīts un atbildīgs process, kurā nozīmīgu vietu ieņem statistisku datu vākšana un izvērtēšana par labvēlīgo, respektīvi, nelabvēlīgo gadījumu skaitu. Ilustrēsim šo situāciju ar nelielu piemēru. Pieņemsim, ka jauna medicīniska preparāta lietojums 75 gadījumos no 100 devis pozitīvu rezultātu (pacienta veselības stāvoklis būtiski uzlabojies), bet 25 gadījumos vai nu nedeva nekādus veselības stāvokļa uzlabojumus, vai arī noveda pie ļoti nevēlamām blaknēm. Rodas jautājums, kādus secinājumus zāļu ražotāji un mediķi var izdarīt no šādiem datiem. Vai varam teikt, ka šo zāļu lietojums ar varbūtību p = 0,75 dod pozitīvu efektu? Saskaņā ar varbūtiskās loģikas principiem P_1, P_2, P₃ varam apgalvot tikai to, ka paticamākā p vērtība ir 0,75. Pievēršam lasītāju uzmanību terminam paticamākā vērtība. Tā tiek aprēķināta, lietojot t. s. maksimālās paticamības metodi (ang. Maximum liklehood method), t. i., aprēķina p vērtību, kura maksimizē aprakstītās statistiskās situācijas rezultāta varbūtību, proti, dod maksimumu izteiksmei

.

          Lietojot samērā sarežģītu varbūtiskās loģikas slēdzienu ķēdi, varam secināt, ka patiesā p vērtība no 0,75 var atšķirties par lielumu, kas mazāks vai vienāds par 0,05. Varbūtība p vērtībai atrasties robežās starp 0,70 un 0,80 ir apmēram vienāda 0,68. Tātad varbūtība, ka patiesā p vērtība būs mazāka par 0,70 vai lielāka par 0,80, ir pietiekami liela, lai ar to rēķinātos. Mūs tomēr visvairāk interesē varbūtība, ka patiesā p vērtība ir mazāka par 0,60. Izrādās, ka zāļu izmēģinājumā iegūtie rezultāti šādas novirzes iespējamību garantē ar varbūtību, kas mazāka par 0,0023. Tātad šāda novirze uzskatāma par maz ticamu.

Runājot sadzīviskā terminoloģijā, varam teikt, ka zāļu pozitīvais efekts droši garantējams ne mazāk kā 60 procentiem pacientu. Taču tūlīt rodas jautājums, ko šis skaitlis  izsaka pacientam, kuram ārsts rekomendē šīs zāles iegādāties un lietot? Atbilde ir nedaudz pārsteidzoša. Jebkuram konkrētam pacientam šie 60 procenti (ja vēlaties – visi 75) neizsaka neko objektīvu, neko tādu, ko varētu svērt vai mērīt pirms šo zāļu lietošanas. Šim skaitlim ir un būs subjektīvas varbūtības jeb individuālas pārliecības rādītāja loma, kas kvantitatīvi atspoguļo indivīda noskaņojumu sagaidīt labvēlīgu rezultātu, jo šis rādītājs tuvāks skaitlim 1, jo lielāka iespēja tam izpausties pacienta (un arī ārsta) pārliecībā, ka zāļu lietošana dos pozitīvu efektu. Taču nav nekādas garantijas, ka no 100 jauniem pacientiem, kuri šīs zāles lietos, mūsu konkrētais pacients nebūs starp tiem 25 vai 40 indivīdiem, kuri pozitīvo ietekmi negūs. Jāatzīmē arī šāds fakts. Ja ārsts informē pacientu, ka konkrēta medicīniskā preparāta lietojums nedod pozitīvu efektu tikai vienā gadījumā no 1000 izmēģinājumiem, konkrētā pacienta pārliecība par zāļu pozitīvo iedarbību var izpausties placebo efekta veidā, t. i., tās var dot vēlamo efektu pat tad, ja farmakoloģiskā iedarbība tām būtu līdzvērtīga nullei.

 

Varbūtiskā loģika un rīcības motivācija

Lai gan varbūtības p lielums kalpo par motivāciju praktiskai rīcībai, tomēr pastāv neatbilstība starp p vērtību un indivīda pieņemto lēmumu. Mūsu piemērā pacients būs vairāk noskaņots zāles iegādāties un lietot, jo tuvāk 1 būs ārsta nosauktā p vērtība. Citos gadījumos indivīds var pieņemt lēmumu attiecīgi rīkoties arī tad, ja varbūtība p realizēties viņu interesējošam notikumam nav sevišķi liela. Nav pamata apgalvot, ka varbūtība pakļūt zem automašīnas riteņiem ir ļoti liela, ja šķērsosiet ielu gar stāvoša pasažieru autobusa priekšpusi; tās varbūtība iespējams nav lielāka par 0,50, taču sekas šādam negadījumam būs briesmīgas. Tādēļ labāk šādu soli nespert, bet censties apiet autobusu gar tā aizmuguri.

Interesantu personas rīcības motivāciju, kas balstīta uz notikuma varbūtības un šī notikuma nozīmes ievērošanu, sniedz slavenais franču matemātiķis un filozofs Blezs  Paskāls (1623.–1662.) filozofiskajā darbā Domas (franciski - pensées). Vienā no šī sacerējuma esejām viņš sniedz motivāciju, kādēļ skeptiski noskaņotam cilvēkam būtu pamats ticēt Dieva esamībai. Viņa argumentācijas būtība ir šāda: varbūtība, ka Dievs eksistē, ir maza (pēc skeptiķu domām), bet ticība Dieva eksistencei garantē bezgalīgu svētlaimi, ja viņš patiešām eksistē. Turpretī neticība Dieva esamībai nolemj cilvēku mūžīgām ciešanām, ja Dievs tomēr eksistē. Ja Dieva tomēr nav, ticība viņam būs saistīta tikai ar nelieliem zaudējumiem. Tātad arī skeptiķim pēc B. Paskāla domām ieteicams kļūt ticīgam.  

          Šo pašu ticības jautājumu no varbūtiskās loģikas viedokļa iztirzājis slavenais B. Paskāla tautietis franču matemātiķis Pjērs Laplass (1749.–1827.). Viņš centās atspēkot Paskāla argumentāciju, balstoties uz šādu tēzi: jo vairāk kāds sola, jo mazāk tam var ticēt. Ja mums sola bezgalīgu svētlaimi, tad varbūtība, ka tā tiks garantēta, ir bezgalīgi maza. Pievēršam lasītāja uzmanību faktam, ka abi franču domātāji spriedumos operē ar subjektīvās, nevis objektīvās varbūtības jēdzienu. Bet, tā kā viņi iztirzā personas rīcības motivāciju, kas izpaudīsies vienā konkrētā lēmumā, tad varbūtības objektivitātei šeit nav nozīmes.

 

Varbūtiskās loģikas slēdzienu kļūdas

Visizplatītākā varbūtiskās loģikas slēdzienu kļūda ir saistīta ar varbūtisko izteikumu interpretāciju. Piemēram, balstoties uz loģikas principu , matemātiķi var aprēķināt varbūtību, ka, vienlaikus metot 10 spēļu kauliņus, mēs uzmetīsim 10 sešiniekus. Ja spēļu kauliņi nav viltoti, tad šī notikuma varbūtība . Neprofesionālis šo rezultātu var pasniegt plašākai sabiedrībai saprotamā formā un sacīt: - Lai vienu reizi iegūtu 10 sešiniekus, jāizdara vismaz 165 miljoni metienu. - Nereti tiek lietota arī šāda interpretācija: 10 sešiniekus iegūsim tikai vienā gadījumā no 165 miljoniem.

Līdzīga varbūtiskās loģikas kļūda tika pieļauta gan ārzemju, gan mūsu valsts plašsaziņas līdzekļos 25. un 26. augustā. Atgādinām lasītājam, ka 24. augustā pasauli pāršalca ziņa, ka gandrīz vienlaikus avarējušas divas Krievijas pasažieru lidmašīnas. Tika izteiktas aizdomas par iespējamu terora aktu, kuru sākotnēji Krievijas drošības orgānu pārstāvji noliedza. Tad vācu raidstacija Deutche Welle nāca klajā ar paziņojumu, ka matemātiķi aprēķinājuši lidmašīnu vienlaikus avārijas gadījumrakstura iespējamību un secinājuši, ka tā var realizēties vienu reizi piecos tūkstošos gadu. Pēc tam to atkārtoja Latvijas Radio 1. Šāds formulējums žurnālistu priekšnesumā varēja parādīties pie nosacījuma, ka matemātiķu aprēķinos vienlaikus avārijas varbūtība viena gada laikā nav lielāka par 1/5000. Lai arī cik apšaubāms būtu šāds matemātiķu aprēķins, pats apgalvojums, ka šāda avārija var notikt tikai reizi 5000 gados, ir tīrais blefs. Ja aprēķinātā varbūtība ir pareiza, tad patiesais avāriju skaits 5000 gadu laikā var būt arī lielāks par vienu. Izmantojot varbūtiskās loģikas principus P₁, P₂ un P₃, viegli aprēķināt šāda notikuma varbūtību. Izrādās, ka vairāk par vienu gadījumrakstura vienlaikus avāriju 5000 gados varam sagaidīt ar varbūtību, kas lielāka par ¼.

Varbūtiskā loģika ir pilnīgi nepieciešama, ja vēlamies iztirzāt demogrāfiskās un ģenētiskās parādības. Austriešu mūks Gregors Mendelis (1822.–1884.), kurš atklāja pirmos ģenētikas pamatlikumus, tos varēja formulēt vienīgi kā statistiskus jeb varbūtiskus likumus. Viens no G. Mendeļa atklātajiem ģenētikas likumiem formulējams šādi: biežums, ar kādu dominantā pazīme sastopama otrajā hibrīdu paaudzē, ir tuvs lielumam  Varbūtību valodā tas nozīmē, lūk, ko: pēc Mendeļa varbūtība, ka otrajā hibrīdu paaudzē parādīsies indivīds ar dominanto pazīmi, ir ¾.

Ļoti delikāts ir jautājums par šādu un tamlīdzīgu statistisku likumu pārbaudi. Tā kā varbūtība objektīvi manifestējas kā parādības biežums samērā lielā izmēģinājumu sērijā, kas tikai retos gadījumos sakrīt ar likumā uzrādīto varbūtību, tad pastāv iespēja apstrīdēt formulētā likuma pareizību. Ar G. Mendeļa formulēto ģenētikas likumu tieši tā arī notika. T. Lisenko skolniece N. Jermolajeva veica plašus eksperimentus un, balstoties uz iegūtā biežuma nesakritību ar varbūtību ¾, apšaubīja Mendeļa likuma pareizību. Viņas pieļautā kļūda izskaidrojama ar to, kā 1939. gada publikācijā viņa neprofesionāli novērtēja iegūtā biežuma atšķirību no varbūtības ¾. Šo kļūdu pamanīja ievērojamais krievu matemātiķis A. Kolmogorovs (1903.-1987.).

Profesors Aivars LORENCS